什么是贝塞尔曲线
贝塞尔曲线是应用于二维图形应用程序的数学曲线。
曲线定义：起始点、终止点（也称锚点）、控制点，通过调整控制点，贝塞尔曲线的形状会发生变化
贝塞尔曲线于1962由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）所广泛发表，他运用贝塞尔曲线来为汽车的主体进行设计。现在贝塞尔曲线在计算机图形学领域也是一个相当重要的参数曲线，很多画图工具软件都包含贝塞尔曲线的工具对象。
以下公式中，B(t)为t时间下点的坐标，P0为起点，Pn为终点，Pi为控制点
一阶贝塞尔曲线（线段）：
意义：由P0至P1的连续点描述的一条线段
# -*- coding:utf-8 -*-
# @功能描述：使用turtle绘制一阶贝塞尔曲线
# @程序作者：老九学堂·窖头
# @版权信息：http://www.xuetang9.com
# @版本信息：0.0.1
import turtle
import time
def Bezier(p0, p1, t):
"""
一阶贝塞尔函数，由P0至P1的连续点描述的一条线段
:param p0: 起始点
:param p1: 终点
:param t: 时间
:return: 返回对应时间点的中间坐标值
"""
return (1 - t) * p0 + t * p1
# 定义开始和结束的两个点坐标
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 100, -100
speed = 1 # 移动速度
show_count = 20 # 贝塞尔函数的取样次数
turtle.setup(500, 400, 0, 0)
turtle.pensize(1)
turtle.speed(1)
turtle.penup()
turtle.goto(x1, y1)
turtle.pendown()
for t in range(0, show_count + 1): # 取样15次
curr_x = Bezier(x1, x2, t / show_count)
curr_y = Bezier(y1, y2, t / show_count)
turtle.goto(curr_x, curr_y)
turtle.penup()
turtle.goto(curr_x, curr_y - 40)
turtle.write("一阶贝塞尔曲线绘制的线段", font=('华文新魏', 18,), align="right")
turtle.done()
二阶贝塞尔曲线（抛物线）
原理：由P0至P1的连续点Q0描述一条线段
由P1至P2的连续点Q1描述一条线段
由Q0至Q1的连续点B(t)描述一条二次贝塞尔曲线。
# -*- coding:utf-8 -*-
# @功能描述：使用turtle绘制二阶贝塞尔曲线
# @程序作者：老九学堂·窖头
# @版权信息：http://www.xuetang9.com
# @版本信息：0.0.1
import turtle
import time
def Bezier_2(p0, p1, p2, t):
"""
二阶贝塞尔公式函数
"""
return (1 - t) ** 2 * p0 + 2 * t * (1 - t) * p1 + t ** 2 * p2
# 二阶贝塞尔曲线需要三个控制点
x1, y1 = 0, 0
x2, y2 = 60, 80
x3, y3 = 140, 0
speed = 1 # 移动速度
show_count = 20 # 函数的取样次数
turtle.setup(500, 400, 0, 0)
turtle.pensize(1)
turtle.speed(1)
turtle.penup()
turtle.goto(x1, y1)
turtle.pendown()
for i in range(0, show_count + 1):
# curr_x = Bezier_2(x1, x2, x3, i / show_count)
# curr_y = Bezier_2(y1, y2, y3, i / show_count)
# 也可以使用下面的方式，组合一阶函数来计算
curr_x = Bezier(
Bezier(x1, x2, i / show_count),
Bezier(x2, x3, i / show_count),
i / show_count
)
curr_y = Bezier(
Bezier(y1, y2, i / show_count),
Bezier(y2, y3, i / show_count),
i / show_count
)
turtle.goto(curr_x, curr_y)
turtle.done()
了解了一阶、二阶函数的使用后，三阶、四阶等高阶函数的理解就不再困难了
有兴趣的小伙伴们就自行往下推导试试看看吧：）
三阶贝塞尔曲线：
通用公式：
高阶贝塞尔曲线：
四阶贝塞尔曲线
五阶贝塞尔曲线
